Sisteme de numeraţie
Din cele mai vechi timpuri, s-a pus problema gasirii unor procedee de scriere a numerelor naturale care sa permita o scriere rapida a ordinului lor de marime si elaborarea unor reguli eficiente de efectuare a operatiilor cu acestea. Adoptarea sistemului de numeratie zecimal s-a încheiat abia în secolele 16-17 si reprezinta o etapa importanta în dezvoltarea matematicii.
Un sistem de numeratie este privit ca "un ansamblu de reguli prin care valorile numerice pot fi scrise prin intermediul simbolurilor, denumite numere".
Se numeste sistem de numeratie totalitatea regulilor de reprezentare a numerelor folosind un anumit set de simboluri distincte, numit alfabet; simbolurile sunt numite cifre.
Prin definitie, totalitatea simbolurilor grafice utilizate pentru scrierea numerelor reprezintaalfabetul sistemului de numeratie.
De exemplu, sistemul de numeratie în baza 2 are alfabetul ; sistemul de numeratie în baza 16 are alfabetul .
În decursul timpului, în diferite zone ale globului au fost folosite sisteme de numeratie cu o varietate destul de mare de baze de numeratie: 3, 4, 5, 6, 10, 12, 20, 60. Dar cea mai des folosita a fost baza 10, probabil ca urmare a socotitului pe degete.
Semnele folosite pentru notarea cifrelor sunt destul de variate. Modul lor de grupare pentru reprezentarea unui numar califica un sistem de numeratie ca nepozitional (aditiv, multiplicativ) sau pozitional.
Tipuri de sisteme de numeraţie:
a) Sisteme de numeratie nepozitionale:
simbolurile prin care sunt reprezentate cantităţile (numerele/dimensiunea) nu au o pondere în funcţie de poziţia ocupată în cadrul şirului de simboluri ce desemneaza (semnifică) cantitatea
globală (totală).
Ex. : sistemul de numeraţie ROMAN
I → reprezintă unitatea
II → reprezintă 2 unităţi
V → reprezintă 5 unităţi
X → reprezintă 10 unităţi
L → reprezintă 50 unităţi
C → reprezintă 100 unităţi
M → reprezintă 1000 unităţi
Prin alăturarea acestor simboluri cu o semnificaţie prestabilită şi folosind un algoritm/convenţie de “calcul” (interpretare) se pot reprezenta diferite cantităţi.
IV = 4 = 5 – 1
VI = 6 = 5 + 1
IX = 9 = 10 – 1
XI = 11 = 10 + 1
XX = 20 = 10 + 10
Sistemele aditive
Sistemul de numeratie roman este un sistem aditiv-substractiv. Valoarea unui numar se obtine prin adunarea sau scaderea cifrelor dupa anumite reguli.
De exemplu, XI = 11, MMCIII = 2103; IV = 4, IX = 9.
Sistemele multiplicative
Un sistem multiplicativ este acela în care pentru aflarea valorii unui numar este necesar sa se înmulteasca anumite perechi de simboluri într-o maniera asemanatoare sistemului aditiv (sistemul de numeratie chinez).
b)Sistemele de numeratie pozitionale
În sistemele de numeratie pozitionale, un simbol din alcatuirea unui numar (cifra) are valoare intrinseca dar si o valoare prin pozitia pe care o ocupa în numar. Aceasta implica existenta unui simbol cu valoare intrinseca nula (zero). În unele sisteme pozitionale în care regulile o permit, este posibil sa se renunte la acest simbol. Regulile folosite în aceste sisteme sunt mai complexe decât în cele aditive.
Cel mai raspândit sistem de numeratie este cel cu baza 10, numit sistemul zecimal. Sistemul de numeratie cu baza 2 se numeste binar. Este limbajul circuitelor electronice. Sistemul de numeratie cu baza 16 este numit hexazecimal si este folosit în programarea calculatoarelor. Are avantajul ca este relativ apropiat de sistemul zecimal si ca numerele scrise în baza 16 pot fi foarte usor convertite în baza de numeratie 2.
Sistemul de numeratie binar
Sistemul de numeratie binar, cel mai simplu posibil inventat acum 500 de ani în China si cel mai utilizat în reprezentarea codificata a numerelor în calculatoare, are urmatoarele caracteristici:
Sistemul zecimal
Sistemul zecimal este un sistem de numeraţie poziţional , având baza10. Este cel mai utilizat sistem de numeraţie, motivul presupus fiind că oamenii au zece degete la cele două mâini. Termenul „zecimal” provine din latină decimal (după zece).
Notaţia zecimală este scrierea numerelor în sistemul de numeraţie baza 10. Pentru reprezentarea oricăror numere, indiferent cât de mari, se folosesc exact 10 difre, având 10 valori diferite: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 şi 9. Simbolurile acestor cifre, folosite actual în întreaga lume, sunt denumite de europeni cifre arabe, iar de arabi cifre indiene, după culturile de la care fiecare le-au preluat. Grafia acestor simboluri însă diferă de la cultură la cultură.
Corespondenţa dintre codul hexazecimal şi codul zecimal:
Sistemul de numeraţie hexazecimal
Sistemul hexazecimal (numit şi sistemul hexadecimal) este sistemul de numeraţie în baza 16, scris de obicei cu ajutorul simbolurilor (cifrelor hexazecimale) 0-9 şi A-F. Sistemul este întâlnit mai ales în domeniul informatic, unde este folosit intens deoarece un octet cuprinde exact două cifre hexazecimale.
Pentru a arăta că un număr este hexazecimal se folosesc mai multe notaţii:
- în matematică, baza de numeraţie se notează cu un subindice, de exemplu 5A3(16).
- în C, Java şi alte limbaje de programare similare, prefixul hexazecimal este "0x", de exemplu 0x5A3.
- în Pascal şi Delphi, prefixul hexazecimal este "$", de exemplu $5A3.
- în HTML, prefixul hexazecimal este caracterul special "#" (hash), de exemplu #5A3.
- în diferite variante de Assembler, numerele hexazecimale sunt notate cu sufixul "H": 5A3H.
Sistemul hexazecimal a fost folosit la unitatea de calcul în virgulă mobilă a sistemelor de calcul franceze IRIS (Informatique et Réseaux pour l'Industrie et les Services) ale cărui clone au fost fabricate şi în România sub numele de Felix C. La aceste calculatoare incrementarea exponentului cu un bit determina deplasarea mantisei cu 4 biţi (echivalentul unei cifre hexazecimale), fapt care oferea o lărgire a ordinului de mărime a cifrelor reprezentabile, cu preţul unei pierderi de precizie de ordinul unei cifre zecimale.
